Sabtu, 08 Agustus 2009

E-LEARNING

1. Pengertian e-learning secara teoritis:

Menurut Jaya Kumar C. Koran, e-learning merupakan sembarang pengajaran dan pembelajaran yang menggunakan rangkaian elektronik (LAN, WAN, atau internet) untuk menyampaikan isi pembelajaran, interaksi, atau bimbingan.

Menurut Dong mendefinisikan e-learning sebagai kegiatan belajar asynchronous melalui perangkat elektronik komputer yang memperoleh bahan belajar yang sesuai dengan kebutuhannya.

Menurut Rosenberg yang menekankan bahwa e-learning merujuk pada penggunaan teknologi internet untuk mengirimkan serangkaian solusi yang dapat meningkatkan pengetahuan dan keterampilan.

Menurut Cambell dan Kamarga yang intinya menekankan penggunaan internet dalam pendidikan sebagai hakekat e-learning.

Menurut Onno W. Purbo menjelaskan bahwa istilah “e” atau singkatan dari elektronik dalam e-learning digunakan sebagai istilah untuk segala teknologi yang digunakan untuk mendukung usaha-usaha pengajaran lewat teknologi elektronik internet.

Dengan demikian, e-learning merupakan dasar dan konsekuensi logis dari perkembangan teknologi informasi dan komunikasi. Dengan e-learning, peserta didik (learner atau murid) tidak perlu duduk dengan manis di ruang kelas untuk menyimak setiap ucapan dari seorang guru secara langsung. E-learning juga dapat mempersingkat jadwal target waktu pembelajaran, dan tentu saja menghemat biaya yang harus dikeluarkan oleh sebuah program studi atau program pendidikan.

Implementasi e-learning di lapangan terkait dengan karakteristik konsep matematika: Konsep matematika menurut hemat saya tidak dapat diajarkan melalui media tanpa tutor atau guru, karena bisa terjadi salah konsep yang akibatnya bisa fatal di mana konsep matematika itu berjenjang. Jika e-learning akan digunakan dalam pembelajaran matematika ya tentu saja boleh bahkan dianjurkan tetapi hanya sebagai tambahan dan pelengkap, bukan sebagai pengganti guru.

Ketersediaan sarana/prasarana dan sumber daya yang diperlukan

Pembelajaran dengan bebasis e-learning (LAN, WAN, atau internet) tentu di sekolah tersebut sudah cukup perangkatnya dalam hal ini adalah computer, jaringan internet dan gurunya. Namun sayang di Indonesia, hanya ada di kota-kota besar sedangkan daerah pelosok tidak bisa apalagi daerah yang belum ada listriknya. Begitu juga gurunya, belum banyak guru yang mampu mengoperasikan program komputer.

2. Pemanfaatan internet dalam pembelajaran yaitu: (1) sebagai media interpersonal dan juga sebagai media massa yang memungkinkan terjadinya komunikasi one-to-one maupun one-to-many, (2) memiliki sifat interkatif, dan (3) memungkinkan terjadinya komunikasi secara sinkron (syncronous) maupun tertunda (asyncronous), sehingga memungkinkan terselenggaranya dialog/komunikasi yang merupakan syarat terselengaranya suatu proses belajar mengajar.

Internet jika dimafaatkan dalam pembelajaran matematika hanyalah sebagai pelengkap dan tambahan bukan sebagai pengganti guru. Karena dikhawatirkan dapat terjadi kesalahan dalam pemahaman konsep matematika bagi siswa.

Perbedaan antara open learning dan distance learning:

Pendidikan jarak jauh (distance learning) adalah suatu bentuk pendidikan yang mempunyai karakteristik yaitu bahwa dalam sistem pendidikan jarak jauh: (1) peserta didik dan guru bekerja secara terpisah sepanjang proses belajar itu yang berarti bahwa siswa harus dapat belajar secara mandiri dan bantuan belajar yang diperoleh dari orang lain sanagat terbatas. (2) lembaga pendidikan yang merancang dan menyiapkan bahan belajar, serta memberikan pelayanan bantuan belajar kepada peserta didik. (3) pelajaran ( pengetahuan, keterampilan, dan sikap) disampaikan kepada siswa melalui media seperti media cetak, radio, kaset, audio, TV, kaset Video, slide, CD-ROM dan internet. Kecuali berfungsi sebagai alat untuk menyampaikan isi pelajaran, media juga merupakan alat penghubung atau alat komunikasi antara peserta didik dan guru. (4) ada usaha untuk terjadinya komunikasi dua arah antara peserta didik dan guru atau antara peserta didik dengan lembaga penyelenggara, atau antara sesama peserta didik. (5) tidak ada kelompok belajar bersifat tetap sepanjang masa belajarnya. Karena itu peserta didik pendidikan jarak jauh menerima pelajaran secara individual bukannya secara kelompok. Sekali waktu memang dapat dilakukan pertemuan kelompok peserta didik yang mempelajari mata pelajaran yang sama untuk membicarakan hal-hal yang berkaitan dengan pelajaran atau sekedar untuk bersosialisasi.

Pendidikan Terbuka (open learning)

Pada pendidikan terbuka peserta didik juga belajar terpisah dengan guru, diorganisir oleh lembaga tertentu, isi pelajaran disampaikan melalui berbagai program media, biasanya tidak ada kelmpok belajar permanent. Bahkan di Universitas Terbuka ada bagian yang disebut Unit Pelaksana Belajar Jarak Jauh (UPBJJ).
Menurut Race (1989) istilah terbuka berarti peserta didik mempunyai pilihan.Dia mempunyai kebebasan untuk memilih strategi belajar sendiri, dan keleluasaan untuk mengontrol kegiatan belajarnya sendiri. Tidak banyak kontrol atau campur tangan yang dilakukan oleh dosen, instruktur, atau guru.Terbuka juga berarti leluasa dalam aturan penerimaan peserta didik. Banyak program pendidikan terbuka yang tidak memberikan persyaratan masuk berupa pengetahuan atau pengalaman belajar prerequisite (pra syarat). Keegan (1986) mengatakan bahwa pendidikan terbuka terutama ditandai oleh dihilangkannya aturan-aturan (restriction), exclusion, dan previleges. Sebagai gantinya diberikan keleluasaan dalam memasuki pendidikan terbuka, memasuki pendidikan terbuka tidak perlu tes. Dorell (1993) mengatakan bahwa pendidikan terbuka itu terbuka bagi semua orang. Jadi tidak ada prakualifikasi seperti umur, status dan kecerdasan. Ada beberapa ciri lain yang oleh penyelenggara pendidikan terbuka dipandang sebagai ciri pendidikan terbuka, yaitu : (1) biasanya tidak mempunyai persyaratan masuk seketat pendidikan konvensional. Orang yang mendaftarkan diri ke UT atau SMP Terbuka misalnya tdak perlu mengikuti tes masuk seperti universitas lainnya. (2) Sistem pendidikan terbuka menganut multy entry system. Siswa dapat keluar masuk sewaktu-waktu. Pada suatu semester peserta didik boleh tidak aktif, dan pada semester lain aktif kembali. (3) peserta didik dapat memilih tempat dan waktu belajar sesuai dengan keinginannya. (4) peserta didik dapat belajar sesuai dengan kecepatan belajar (pace of learning ) masing-masing.

Munculnya istilah Open Learning dan Distance Learning. Karena adanya persamaan karakteristik dan tidak adanya perbedaan yang sangat hakiki antara pendidikan jarak jauh dan pendidikan terbuka, di dunia internasional muncul istilah atau nama Open and Distance Learning (Pendidikan Terbuka dan Jarak Jauh). sistem pendidikan terbuka dan jarak jauh juga membutuhkan sarana dan prasarana penunjang pendidikan, agar tujuan umum pendidikan bisa diwujudkan sesuai dengan jenjang pendidikanya. Sarana penunjang biasanya berupa modul-modul pelajaran yang dikirim kepada peserta didik. Sarana bisa juga berbasis teknologi informasi. Munculnya teknologi informasi dan komunikasi pada pendidikan terbuka dan jarak jauh sangatlah membantu sekali. Seperti dapat dilihat dengan munculnya berbagai pendidikan secara online atau wibe-school atau cyber-school, dengan menggunakan fasilitas internet. Pendekatan sisem pengajaran yang dapat dilakukan aalah dengan melakukan pengajaran lansung (realtime) ataupun dengan cara menggunakan sistem sebagai tempat pemusatan pengetahuan (knowledge). Hal ini memungkinkan terbentuknya kesempatan bagi siapa saja untuk mengetahui jenjang pendidikan.

Open Learning dan Distance Learning yang berbasiskan website dianggap paling murah dibanding CAI/CBI, siaran radio, kaset video, dan lainlainnya. Dengan website ini belajar tidak lagi terikat dengan waktu dan ruang tentunya. Pada kenyataannya sekarang ini, melalui internet memang bisa mengirim video tetapi tidak mampu secepat kalau mengakses kaset video, televisi, atau CD-ROM secara langsung. Lagi pula, interaksi waktu nyata yang dijalin tidak sebaik komunikasi telepon ataupun konferensi video. Sedangkan informasi tekstual yang diperoleh pun juga tidak sebaik dari buku atau majalah. Akan tetapi mengapa web demikian pesat perkembangannya?. Hal ini karena dalam web bisa didapatkan gabungan keuntungan atas media lain tersebut. Dalam web bisa diperoleh informasi video dan suara sekaligus teks dan gambar serta dimungkinkan komunikasi interaktif dari berbagai sumber informasi di seluruh dunia. Disamping itu, menurut McManus (1995) ternyata jaringan internet bukanlah semata-mata suatu media, tetapi lebih dari itu juga merupakan pemberi materi dan sekaligus materinya. Seorang dosen yang mengajarkan suatu topik tertentu melalui web akan dengan mudah menghubungkannya dengan situs-situs web yang berkaitan dengan topik tersebut.

3. Kegunaan model pembelajaran berbasis komputer adalah untuk mempermudah siswa dalam proses pembelajaran melalui penggunaan teknologi yang relevan.

Keunggulan model pembelajaran berbasis komputer

a. Dapat ditekankan pada keterampilan berpikir siswa, sehingga dapat menyeimbnagkan kebutuhan waktu dan keperluan pemrosesan dari tugas-tugas tertentu serta memungkinkan pengembangan pendekatan pembelajaran yang bervariasi (Jackson)

b. Komputer dapat merupakan media pengajaran yang dapat memvisualisasikan berbagai fakta, keterampilan, konsep dan computer dapat juga menampilkan gambar-gambar yang bergerak sesuai dengan keperluannya (Coburn)

Jenis-jenis interaksi dalam pembelajaran berbasis komputer diantaranya:

  1. Jika dilakukan secara on line akan mempermudah interaksi antara guru atau pembelajar dengan peserta didik, antara sesama guru, dan antara guru dengan materi ajar sendiri.
  2. Sedangkan jika dilakukan secara off line, akan mempermudah interaksi guru dengan materi ajar, dan memungkinkan guru untuk belajar sesuai dengan keinginan dan dasar apa yang sudah dimiliki.

4. a. Beberapa kelebihan Student Centered

1) Mengefektifkan proses pembelajaran; dengan pembelajaran yang berpusat kepada peserta didik, mereka akan bertanggungjawab pada dirinya sendiri dalam mencapai tujuan pembelajarannya. Sehingga mereka akan lebih cepat dalam menerima dan memahami sesuatu dengan proaktif dalam belajar.

2) Memperkuat daya ingatan siswa; ketika siswa dituntut untuk aktif dalam proses belajarnya, dalam artian tidak lagi hanya terpusat pada guru, mereka akan lebih kuat daya ingatannya. Karena mereka mendapatkan ilmu secara langsung untuk dipraktekkan, dalam arti tidak hanya sekedar mendengarkan dari satu sumber.

3) Mengikis rasa bosan siswa; Rasa bosan akan timbul ketika mahasiswa tidak dianggap ada di dalam kelas. Mereka hanya dijadikan objek pendengar yang setia dari ceramah guru. Akibatnya siswa akan merasa bosan dan akan juga mempengaruhi keinginannya untuk terus giat dalam menggali ilmu.

4) Memberikan rasa percaya diri bagi mereka yang mempunyai kekurangan dalam akademis; Student Centered memberikan kesempatan pada siapapun untuk proaktif dalam proses belajar mengajar. Tidak ada tekanan yang dapat memutuskan bahwa pendapat ini benar dan pendapat itu salah. Karena yang terlibat dalam diskusi tersebut mereka sendiri yaitu semua siswa. Jadi bagi mereka yang selama ini jarang berpartisipasi dalam kegiatan KBM akan merasa lebih percaya diri dalam mengikutinya.

b.Aplikasi teknologi dalam pendidikan matematika termasuk jenis Student Centered, sebab siswa langsung berinteraksi dengan teknologi yang digunakan dalam pembelajaran tersebut meskipun bukan dalam penanaman konsep dan guru tetap memberikan bimbingan dalam pembelajaran.

5. a. Pembelajaran berbasiskan Information Technologi diantaranya

1) Pembelajaran berbasis web (web base learning), penyampaian materi dalam berbagai bentuk data serta dapat dihubungkan ke berbagai sumber informasi lainnya (hypermedia)

2) Pembelajaran berbasis internet; internet memang akan bisa digunakan dalam seting pembelajaran di sekolah, karena memiliki karakteristik yang khas yaitu (1) sebagai media interpersonal dan juga sebagai media massa yang memungkinkan terjadinya komunikasi one-to-one maupun one-to-many, (2) memiliki sifat interkatif, dan (3) memungkinkan terjadinya komunikasi secara sinkron (syncronous) maupun tertunda (asyncronous), sehingga memungkinkan terselenggaranya dialog/komunikasi yang merupakan syarat terselengaranya suatu proses belajar mengajar.

3) Pembelajaran berbasis e-leaning; pembelajaran dengan menggunakan media lektronik. e-learning, seperti juga namanya “Electronic Learning” disampaikan dengan menggunakan media elektronik yang terhubung dengan Internet (World Wide Web yang menghubungkan semua unit komputer di seluruh dunia yang terkoneksi dengan Internet) dan Intranet (jaringan yang bisa menghubungkan semua unit komputer dalam sebuah perusahaan). Dan sebagainya

Pembelajaran berbasiskan IT jika dilakukan secara on line akan mempermudah interaksi antara guru atau pembelajar dengan peserta didik, antara sesama guru, dan antara guru dengan materi ajar sendiri. Apabila diaplikasiskan dalam pembelajaran matematika sangat bagus dan relevan, sehingga menarik untuk siswa karena dapat meningkatkan retensi siswa.

Sedangkan jika dilakukan secara off line, akan mempermudah interaksi guru dengan materi ajar, dan memungkinkan guru untuk belajar sesuai dengan keinginan dan dasar apa yang sudah dimiliki. Namun apabila dikaitkan dengan pembelajaran matematika dapat menimbulkan salah konsep karena interaksi guru dan siswa tidak secara langsung. Jadi jika dilakukan secara off line kurang baik dalam penanaman konsep matematika.

b. Judul penelitian: Penerapan Hypertext Teknologi dalam Pembelajaran Matematika

Perumusan Masalah

1) Apakah penggunaan hypertext sebagai media bisa memberikan manfaat khusus bagi siswa dalam hal pemahaman materi pelajaran matematika?

2) Apakah penggunaan hypertext sebagai media bisa memberikan manfaat kepada guru dalam hal proses pembelajaran matematika di kelas?

3) Upaya apa yang harus dilakukan untuk meningkatkan efektivitas penggunaan hypertext dalam proses pembelajaran matematika?

4) Apakah Hypermedia disain model bisa digunakan sebagai pendamping atau pelengkap Sistem Desain Instruksional konvensional dalam pelajaran matematika?

5) Permasalahan apa saja yang muncul dari penggunaan Hypermedia Disain Model dan media Hypertext dalam pembelajaran matematika, baik pada guru maupun pada siswa?

Tujuan penelitian

1) Untuk mengetahui penggunaan hypertext sebagai media bisa memberikan manfaat khusus bagi siswa dalam hal pemahaman materi pelajaran matematika.

2) Untuk mengetahui hypertext sebagai media bisa memberikan manfaat kepada guru dalam hal proses pembelajaran matematika di kelas.

3) Untuk mengetahui upaya yang harus dilakukan untuk meningkatkan efektivitas penggunaan hypertext dalam proses pembelajaran matematika.

4) Untuk mengetahui Hypermedia disain model bisa digunakan sebagai pendamping atau pelengkap Sistem Desain Instruksional konvensional dalam pelajaran matematika.

5) Untuk mengetahui permasalahan yang muncul dari penggunaan Hypermedia Desain Model dan media Hypertext dalam pembelajaran matematika, baik pada guru maupun pada siswa.

Hipotesis penelitian

1) Penggunaan hypertext dalam pembelajaran matematika dapat memberikan manfaat bagi siswa dan guru

2) Penggunaan hypertext dalam pembelajaran matematika lebih efektif dibandingkan dengan pembelajaran biasa.

6. Bahwa penggunaan internet dalam pembelajaran masih relative baru sebagai metode pembelajaran dan masih harus lebih banyak disimak terutama karena internet juga menyediakan segala bahan untuk pelajaran maupun bahan-bahan yang sifatnya mempengaruhi dan merusak para siswa. Pengembangan pengajaran matematika dengan internet harus mempunyai rambu-rambu demi pemanfaatan waktu dengan efektif dan tersampaikannya materi pelajaran dengan baik. Sehingga pembelajaran dengan internet saat ini harus sudah diperkenalkan dan dimasyarakatkan di seluruh pelosok Indonesia dalam usaha menyamakan mutu pendidikan di dalam dan di luar negeri maupun memperkecil gap kualitas pendidikan antar darah di tanah air. Pembelajaran dengan internet ini harus dimulai dari pengenalan komputer dan peranti lunaknya serta pembelajaran dengan peranti lunak sains.

Dengan internet materi yang disampaikan mungkin tidak baru namun dengan metode interaktif materi yang sama akan menjadi lebih menarik, apalagi kalau ditunjang perlengkapan audio visual yang memadai. Internet juga dapat digunakan dalam semua pembelajaran pada mata pelajaran maupun mata kuliah.

Kamis, 06 Agustus 2009

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

(Pertemuan 1)

Nama Sekolah : SMA Kartika Siliwangi 2 Bandung

Mata Pelajaran : Matematika

Kelas / Semester : X (Sepuluh) / Genap

Pokok Bahasan : Geometri

Sub Pokok Bahasan : Kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang

Jam Pelajaran : 2 x 45 menit

A. Standar Kompetensi

6. Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.

B. Kompetensi Dasar

6.1. Menentukan kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang dimensi tiga.

C. Indikator

  1. Menentukan komponen bangun ruang
  2. Menentukan kedudukan titik dan garis dalam ruang
  3. Menentukan kedudukan titik dan bidang dalam ruang

D. Tujuan Pembelajaran.

Siswa memiliki pemahaman konsep komponen bangun, kedudukan titik dan garis dalam ruang, kedudukan titik dan bidang dalam ruang.

E. Materi.

1. Bangun-bangun ruang

2. Komponen bangun ruang

3. Titik, garis, dan bidang.

4. Kedudukan titik, garis, dan bidang pada bangun ruang.

F. Media Pembelajaran : kerangka kubus, kertas, lidi.

G. Sumber Pembelajaran

1. Wirodikromo, S. (2006). Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta:Erlangga

2. LKS

H. Kegiatan Belajar Mengajar

1. Metode Pembelajaran : Teknik Superitem/SOLO

2. Langkah-langkah pembelajaran

Kelompok Eksperimen

Pendahuluan

a. Guru menjelaskan tentang pembelajaran dengan teknik Superitem/SOLO

b. Guru menjelaskan tujuan pembelajaran yang harus dicapai setelah pembelajaran dengan teknik Superitem/SOLO

c. Guru memotivasi siswa dan menggali pengetahuan prasyarat.

d. Guru membagi kelompok dengan jumlah anggota kelompok 4-6 siswa.

Kegiatan Inti

Guru membagikan LKS pada semua siswa. Dan di dalam LKS tertera soal mengenai ilustrasi konsep, analogi konsep, soal sesuai taksonomi SOLO, soal superitem. Dan diharapkan siswa mampu memahami materi melalui soal-soal tersebut.

a. Ilustrasi Konsep

Guru menggali pengetahuan awal siswa dengan meminta siswa untuk menyebutkan semua bangun ruang. Kemudian guru membimbing siswa untuk menggambar bangun ruang tersebut.

b. Analogi Konsep

Siswa diminta untuk menyelesaikan permasalahan berikut.

Diberikan sebuah gambar kerangka kubus ABCD.EFGH, siswa diminta untuk menyebutkan komponen-komponennya.

c. Pengembangan

c.1. Guru bersama siswa membahas kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang dimensi tiga.

· Membahas komponen bangun ruang

· Membahas pengertian titik, garis, dan bidang

· Membahas kedudukan titik terhadap garis dan titik terhadap bidang

· Membahas kedudukan garis terhadap garis dan garis terhadap bidang

· Membahas kedudukan bidang terhadap bidang lain

c.2.Guru bersama siswa membahas soal bertingkat sesuai dengan Taksonomi SOLO.

Kegiatan Akhir (Penutup)

1. Guru mereview tentang kegiatan pembelajaran yang telah dilakukan, membacakan kesimpulan.

2. Guru memberikan soal-soal untuk dikerjakan di rumah.

Kelompok Kontrol

1. Kegiatan Awal (Apersepsi) :

Guru menginformasikan materi pokok dan tujuan yang ingin dicapai dalam pembelajaran serta melakukan apersepsi (mengingatkan kembali materi-materi yang telah dipelajari siswa dan berkaitan dengan materi yang akan dipelajari).

2. Kegiatan inti :

· Guru menjelaskan komponen bangun ruang.

· Guru menjelaskan pengertian titik, garis, dan bidang

· Guru menjelaskan kedudukan titik terhadap garis dan titik terhadap bidang

· Guru menjelaskan kedudukan garis terhadap garis dan garis terhadap bidang

· Guru menjelaskan kedudukan bidang terhadap bidang lain

3. Kegiatan Akhir (Penutup)

Siswa mengerjakan soal-soal latihan yang ada dalam LKS siswa.

I. Penilaian

1. Diketahui kubus ABCD EFGH, BC mewakili garis k, DE mewakili garis l, dan AG mewakili garis m. Sebutkan titik-titik kubus yang

a. Terletak pada garis k

b. Terletak pada garis l

c. Berada diluar garis m

2.

C

B

A

D

T

Pada limas segiempat tegak beraturan T.ABCD berikut :

a. Sebutkan garis yang berpotongan dengan rusuk AB!

b. Sebutkan garis yang bersilangan dengan rusuk AB!

c. Sebutkan garis yang sejajar dengan rusuk AB!

Bandung, Maret 2009

Mengetahui,

Kepala SMA Kartika Siliwangi 2 Bandung, Guru Mata Pelajaran,

Dra. Entin Kartini Lilis Lisnawati, S.Pd

Rabu, 22 Juli 2009

DESAIN PENELITIAN

Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui bagaimana peningkatan pemahaman konsep dan penalaran matematis melalui pembelajaran menggunakan teknik SOLO/Superitem. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode kuasi eksperimen dengan pre test - post test control group design, yaitu memberikan perlakuan secara sengaja terhadap kelompok eksperimen yang berupa pembelajaran matematika menggunakan teknik SOLO/superitem, dan kelas kontrol menggunakan pembelajaran konvensional. Kemudian hasil dari perlakuan tersebut diamati dan dianalisis. Rancangan tersebut sebagai berikut:


HASIL PENELITIAN

ABSTRAK

Meningkatkan Kemampuan Pemahaman Konsep dan Penalaran Matematis Siswa SMA melalui Pembelajaran Menggunakan Tugas Bentuk Superitem

Penelitian ini bertujuan untuk menelaah, (1) peningkatan pemahaman konsep matematik siswa yang pembelajarannya dengan menggunakan teknik SOLO/Superitem bila dibandingkan dengan pembelajaran konvensional, (2) peningkatan penalaran matematik siswa yang pembelajarannya dengan menggunakan teknik SOLO/Superitem bila dibandingkan dengan pembelajaran konvensional, (3) ketuntasan pemahaman konsep matematik siswa dalam pembelajaran yang menggunakan teknik SOLO/Superitem, (4) ketuntasan penalaran matematik siswa dalam pembelajaran yang menggunakan teknik SOLO/Superitem, (5) sikap siswa terhadap pembelajaran matematika dengan menggunakan teknik SOLO/Superitem. Penelitian ini merupakan studi eksperimen pada salah satu SMA di Bandung dengan desain penelitian Pretes Postes Control Group Design. Subjek populasi adalah seluruh siswa Sekolah Menengah Atas Kartika Siliwangi 2 Bandung, yang menjadi sampel adalah siswa kelas X. Sampel diambil dengan teknik Purposive Random Sampling, sebanyak dua kelas yaitu kelas X-2 dan kelas X-3. Pengumpulan data dilakukan dengan cara (1) memberikan tes kemampuan pemahaman konsep dan penalaran matematis dalam bentuk uraian pada pokok bahasan geometri dimensi tiga, dan (2) memberikan skala sikap pada siswa.Hasil penelitian menunjukkan, 1) peningkatan pemahaman konsep matematik siswa yang pembelajarannya dengan menggunakan teknik SOLO/Superitem lebih baik bila dibandingkan dengan siswa yang pembelajarannya cara konvensional, (2) peningkatan penalaran matematik siswa yang pembelajarannya dengan menggunakan teknik SOLO/Superitem lebih baik bila dibandingkan dengan siswa yang pembelajarannya cara konvensional, (3) ketuntasan belajar secara klasikal pemahaman konsep matematik siswa berdasarkan kurikulum 2006 dalam pembelajaran yang menggunakan teknik SOLO/Superitem tercapai, (4) ketuntasan belajar secara klasikal penalaran matematik siswa berdasarkan kurikulum 2006 dalam pembelajaran yang menggunakan teknik SOLO/Superitem belum tercapai, (5) sikap siswa terhadap pembelajaran matematika dengan menggunakan teknik SOLO/Superitem adalah positif.

Senin, 09 Februari 2009

Magic Square

Magic Square

Magic square adalah barisan dari angka-angka yang membentuk persegi dan terdiri dari bilangan bulat positif berbeda 1, 2, ..., terarur sedemikian sehingga jumlah dari n angka pada barisan horizontal, vertical, atau diagonal selalu sama (Kraitchik, 1952: 142; Andrews, 1960: 1; Gardner, 1961: 130; Madachy, 1979: 84; Benson and Jacobi, 1981: 3; Ball and Coxeter, 1987: 193). Mengenai magic constant

jika setiap angka pada magic square adalah mengurangi dari , magic square yang lain diperoleh dari komplemen magic square. Sebuah square terdiri dari angka berurutan dimulai dengan 1 yang kadang-kadang disebut "normal" magic square.

Keunikan normal square dari order tiga telah diketahui oleh orang Cina kuno, yang disebut Lo Shu. Versi order-4 magic square dengan angka 15 dan 14 yang berdekatan pada kolom tengah di baris bawah disebut Dürer's magic square. Magic squares dari order 3 sampai 8 akan ditunjukkan berikut ini.
Magic constant untuk order ke-n general magic square dimulai dengan bilangan bulat dan masuk dalam deret arithmetic dengan beda antara terminologi

(Hunter & Madachy 1975).
yang belum diselesaikan masalahnya untuk menentukan jumlah dalam magic squares dari order sembarang, tetapi jumlah dari distinct magic squares (tidak termasuk yang diperoleh dengan rotasi dan reflecsi) dari order , 2, ... adalah 1, 0, 1, 880, 275305224, ... (Sloane's; Madachy 1979: 87). 880 squares dari order empat telah dihitung oleh Frénicle de Bessy (1693), dan diilustrasikan oleh Berlekamp dan lain-lain (1982: 778-783). Jumlah dari magic squares telah dihitung oleh R. Schroeppel pada 1973. Jumlah dari squares belum diketahui, tetapi Pinn & Wieczerkowski (1998) memperkirakan mencapai menggunakan simulasi Monte Carlo dan metode mekanik statistik.
Sebuah square gagal menjadi magic hanya karena satu atau dua dari jumlah barisan diagonal yang tidak sama dengan magic constant yang disebut semimagic square. Jika semua diagonal (mencakup yang diperoleh dari sekelilingnya) dari jumlah magic square ke magic constant, maka square disebut panmagic square (juga disebut diabolic square atau pandiagonal square). Jika setiap angka diganti dengan menciptakan magic square yang lain, square ini disebut bimagic square (atau doubly magic square). Jika square itu magic untuk , , dan , maka disebut trimagic square (atau trebly magic square). Jika semua pasangan dari angka yang berlawanan dengan pusat jumlah ke to , maka square disebut associative magic square.
Squares adalah magic di bawah operasi perkalian dari penjumlahan dapat dikonstruksi dan disebut multiplication magic squares. Pada penjumlahan, squares adalah magic di bawah penjumlahan dan perkalian dapat dikonstruksi dan disebut addition-multiplication magic squares (Hunter and Madachy 1975).

Kraitchik (1942) memberikan teknik umum dari konstruksi square genap dan ganjil dari order . Untuk ganjil, banyak teknik yang langsung mengonstruksinya dengan menggunakan metode Siamese, seperti diilustrasikan berikut (Kraitchik 1942: 148-149). Itu dimulai dengan menempatka 1 pada suatu lokasi (dalam center square dari baris atas samapai bawah sebagai contohnya), maka penempatan dengan incremen kemudian angka dalam square satu unit bawah dan ke kanan. Penghitungan dari pembungkus sekitar, juga sampai ke atas kembali dan ke kanan samapi ke kiri. Jika square sudah ditemukan, kemudian angka ditempatkan di bawah sebelumnya satu dan metode berlanjut seperti sebelumnya. Metode ini juga disebut de la Loubere's method, ini menjadi pokok laporan pertama dalam dunia barat ketika de la Loubere kembali ke Prancis setelah France setelah bertemu duta besar ke Siam.
Perumuman dari metode menggunakan metode "vector biasa" itu memberikan keseimbangan untuk setiap langkah yang tak menabrak dan "vector putus" itu memberikan keseimbangan untuk memasukkan pada bentrokkan. Standar metode Siamese memiliki vector biasa (1, dan vector putus (0, 1). Pada order ini akan menghasilkan magic square, langkah putus harus berakhir pada sel yang tak terisi. Golongan khusus dari magic squares dapat dikonstruksi dengan mempertimbangkan jumlah nilai mutlak , , , dan . Pengadaan himpunan angka dari jumlah dan perbedaannya. Jika setiap jumlah dan perbedaannya adalah relatively prime ke dan square adalah magic square, maka square juga panmagic square. Ini teori yang berasal dari de la Hire. Tabel berikut memberikan jumlah dan perbedaannnya untuk pilihan keterangan dari vector putus dan vector biasa.
Ordinary Vector Break Vector Sumdiffs Magic Squares Panmagic Squares
(1, )
(0, 1) (1, 3)
none
(1, )
(0, 2) (0, 2)
none
(2, 1) (1, )
(1, 2, 3, 4)
none
(2, 1) (1, )
(0, 1, 2, 3)


(2, 1) (1, 0) (0, 1, 2)
none
(2, 1) (1, 2) (0, 1, 2, 3)
none

Metode kedua untuk perumuman magic squares dari order ganjil telah didiskusika oleh J. H. Conway dengan nama metode "lozenge". Seperti diilustrasikan berikut, dalam metode ini, angka ganjil membangun garis diagonal pada bentuk diamond dalam bagian pusat dari square. Angka genap telah dihilangkan maka ditambah secara sekuen panjang bersambungan dari diagonal diperoleh dengan pembungkus sekitar square hingga pembungkus diagonal mencapai titik permulaan. Pada square berikut, diagonal pertama menempati dalam 1, 3, 5, 2, 4, diagonal kedua diletakkan dalam 7, 9, 6, 8, 10, dan seterusnya.

Metode yang bagus untuk mengonstruksi magic squares dari doubly even order adalah untuk menggambar s sampai selesai setiap subsquare dan diletakanan semua squares dalam barisan. Maka penggantian masing-masing entry pada diagonal crossed-off dengan atau sebaliknya, dengan ekuivalen order dari crossed-out entries. Tetapi dalam conto berikut untuk , angka crossed-out mula-mula 1, 4, ..., 61, 64, juga entry 1 yang diganti 64, 4 dengan 61, dan seterusnya.

Banyak metode bagus untuk mengonstruksi singly even order dengan (tidak ada magic square dari order 2) seharusnya J. H. Conway, yang disebut metode "LUX". Menciptakan susuan yang berisi baris dari s, 1 baris dari Us, dan baris s, Semua jarak . Simpangan pertengahan U dengan L di bawahnya. Sekarang perumuman magic square dari order menggunakan penempatan metode Siamese pada susunan dari tulisan (memulai dalam pusat square dari baris atas), tetapi letak setiap himpunan dari empat squares melingkupi tulisan secara sekuen menurut order yang telah tertulis. Order yang diilustrasikan pada samping kiri dari gambar bawah, dan square lengkap dillustrasikan ke kanan. "Bentuk" dari tulisan L, U, dan X secara natural menganjurka letak order, sehingga nama dari algoritma.
Variasi pada magic squares dapat juga dikonstruksi menggunakan tulisan (salah satunya dalam deinisi square atau seperti entri di dalamnya), seperti alphamagic square dan templar magic square.

Bermacam sifat numerological juga memilki asosiasi dengan magic squares. Asosiasi square Pivari diilustrasikan dengan Saturnus, Jupiter, Mars, Matahari, Venus, Mercury, and Bulan, secara berturut-turut. Pola menarik diperoleh dengan mengurutkan angka dalam setiap squares (dengan pengecualian dari Sun magic square).
Sumber: http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html
Diambil tanggal 27 Mei 2008




Magic Square







Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah
Matematika Diskrit










Oleh:
Eyus Sudihartinih
NIM 0706634









SEKOLAH PASCA SARJANA (S2)
PROGRAM PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
BANDUNG
2008

BARISAN, DERET DAN POLA BILANGAN.

BARISAN, DERET DAN POLA BILANGAN.

1. Barisan dengan selisih tingkat pertama tetap.

Barisan bilangan dipandang sebagai fungsi yang memetakan bilangan Asli ke bilangan Real f : N R sehingga f(n) = Un.
Andaikan : U1, U2, U3, U4, U5, …., Un adalah barisan bilangan dimana selisih tingkat pertama suku-sukunya secara berurutan konstan (tetap) maka disebut, barisan aritmetika.

Misalkan : U2-U1= U3-U2 = U4-U3 = ..... = Un-Un-1 = t ; tetap ................ 1a)
dari 1a) U2 - U1 = t
U3 - U2 = t
U4 - U3 = t
...........
Un - Un-1 = t +
Un – U1 = (n-1)t

Un = U1 +(n-1)t ................................. 1b)

Contoh : Tentukan Un
1. Barisan : 3, 5, 7, 9, ...
2. Barisan : 5, 8, 11, 14, ...
Jawab :
1. Selisih tingkat pertama tetap b = 2 ; U1 = 3 maka Un = 2n+1
2. Selisih tingkat pertama tetap b = 3 ; U1 = 5 maka Un = 3n + 2

2. Barisan dengan selisih tingkat ke-m tetap
Andaikan diketahui barisan : U1, U2, U3, U4, U5, …., Un dimana selisih tingkat 1 , selisih tingkat 2 ,selisih tingkat 3 dan serterusnya dimisalkan a, b, c, d,... dan seterusnya maka kita dapat menyusun barisan itu beserta selisihnya sebagai berikut :

Un : U1, U1+a , U1+2a+b , U1+3a+3b+c , U1+4a+6b+4c+d , …. , Un
Vi : a a+b a+2b+c a+3b+3c+d a+4b+6c+4d+e
Wj : b b+c b+2c+d b+3c+3d+e ...
Xk : c c+d c+2d+2e ...
Yl : d d +e ...
Zm : e ...
... dan seterusnya ....
Perhatikan Pola Un, koefisien-koefisien U1, a , b , c , d , e , ..... mengikuti pola bilangan pada segitiga pascal,
Tabel Segitiga Pascal Pola Binomial
Sehingga :
U1 = U1
U2 = U1 + a
U3 = U1 + 2a + b
U4 = U1 + 3a + 3b + c
U5 = U1 + 4a + 6b + 4c + d
U6 = U1 + 5a + 10b + 10c + 5d + e

Un = U1 + a + b + c + d + e + .... n N

uraian U1, a , b , c , d , e , .... ditentukan oleh selisihnya sampai tingkat ke berapa ia bernilai tetap.
Misalnya :
Jika selisih tingkat 1 tetap maka b = c = d = ... = 0 sehingga uraian Un terdiri dari U1 dan a dengan rumus Un = U1 + a
Jika selisih tingkat 2 tetap maka c = d = e = ... = 0 sehingga uraian Un terdiri dari U1, a dan b dengan rumus Un = U1 + a + b
Jika selisih tingkat 3 tetap maka d = e = f = ... = 0 sehingga uraian Un terdiri dari U1, a, b dan c dengan rumus Un = U1 + a + b + c
Jika selisih tingkat 4 tetap maka Un = U1 + a + b + c+ d
Dan seterusnya.
Soal Tugas : Tentukan Un untuk barisan berikut:
1) Un : 12, 12+22, 12+22+32, 12+22+32+42, 12+22+32+42+52, ....
2) Un : 13, 13+23, 13+23+33, 13+23+33+43, 13+23+33+43+53, ...
3) Diketahui bilangan tripel pythagoras sebagai berikut :
32 + 42 = 52
52 + 122 = 132
72 + 242 = 252
92 + 402 = 412
...? + ...? = ....?


Jawab 1)
Cara 1 : dengan rumus :
Un : 12, 12+22, 12+22+32, 12+22+32+42, 12+22+32+42+52, .... atau
Un : 1 , 5 , 14 , 30 , 55 , ...
4 9 16 25
5 7 9
2 2
Barisan dengan selisih tingkat 3 tetap dimana U1= 1 ; a = 4 ; b = 5 ; c=2
Un = U1 + a + b + c
Un = 1 + 4 + 5 + 2
Un = 1 + 4(n-1) + +
Un =
Un =
Un =
Un =
Jadi : Un =


Cara 2 Karena selisih tingkat 3 tetap kita mengasumsikan barisan itu merupakan fungsi pangkat 3 dari bilangan asli dengan bentuk umum Un = f(n) = an3 + bn2 + cn + d

Dengan mensubstitusi U1, U2, U3 dan U4 didapat SPL 4 peubah
U1 = f(1) = a + b + c + d = 1
U2 = f(2) = 8a + 4b + 2c + d = 5
U3 = f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 14
U4 = f(4) = 64a + 16b + 4c + d = 30

dengan eliminasi d didapat
7a + 3b + c = 4
19a + 5b + c = 9
37a + 7b + c = 16
dengan eliminasi c didapat
12a + 2b = 5
18a + 2b = 7

Dengan eliminasi b didapat 6a = 2 atau a = 1/3. Dengan substitusi didapat b=1/2 ; c = 1/6 dan d = 0
Jadi Un= f(n) =

Atau : Un = f(n)

Jawab 2)
Cara 1 dengan rumus :

Un : 13 , 13+23 , 13+23+33 , 13+23+33+43 , 13+23+33+43+53, ... atau
Un : 1 , 9 , 36 , 100 , 225 , ... atau
Un : 12 , (3)2 , (6)2 , (10)2 , (15)2 , ...
Bilangan dasarnya membentuk barisan dengan pola sebagai berikut :
Un’ : 1 , 3 , 6 , 10 , 15
2 3 4 5
1 1 1
Selisih tingkat 2 tetap dimana U1=1, a = 2, dan b = 1.

Un’ = U1 + a + b
Un’ = 1 + 2 + 1
Un‘= 1 + 2(n-1) +
Un’ = 2n-1 +
Un’ =
Un’ = =

Jadi : Un = = =



Cara 2 Dengan memperhatikan pola :
Un : 13 , 13+23 , 13+23+33 , 13+23+33+43 , 13+23+33+43+53, ... atau
Un : 1 , 9 , 36 , 100 , 225 , ... atau
Un : 12, (1+2)2 , (1+2+3)2 , (1+2+3+4)2 , (1+2+3+4+5)2 , ...
Pola yang terbentuk adalah kuadrat dari jumlah n bilangan asli berurutan.
Jadi : Un = = = =

Jawab 3)
Diketahui bilangan tripel pythagoras sebagai berikut, tentukan tripel berikutnya
32 + 42 = 52
52 + 122 = 132
72 + 242 = 252
92 + 402 = 412
...? + ...? = ....?
Misalkan bilangan – bilangan itu
Xn : 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , ......
Selisih tingkat 1 tetap dimana U1= 3 , a = 2
Xn = U1 + a
Xn = 3 + 2
Xn = 3 +2(n-1) = 2n +1 ............................. i

Yn : 4 , 12 , 24 , 40 , 60 , ......
8 12 16 20
4 4 4
Selisih tingkat 2 tetap dimana U1 = 4 , a = 8 dan b = 4
Yn = U1 + a + b
Yn = 4 + 8 + 4
Yn = 4 +8(n-1) + 2(n-1)(n-2)
Yn = 4 + 8n - 8 + 2n2 - 6n +4
Yn = 2n2 +2n = 2n(n+1) ..................................................... ii

Zn : 5 , 13 , 25 , 41 , 61 , ......
8 12 16 20
4 4 4
Selisih tingkat 2 tetap dimana U1 = 5 , a = 8 dan b = 4
Zn = U1 + a + b
Zn = 5 + 8 + 4
Zn = 5 + 8(n-1) + 2(n-1)(n-2)
Zn = 8n-3 + 2n2-6n+4
Zn = 2n2+2n+1 = 2n(n+1) + 1 .......................................... iii
Dari i , ii dan iii didapat
Bilangan berikutnya yang memenuhi tripel pythagoras di atas adalah





3. M etode Jumlah Runtuh :

Contoh : Hitunglah dan temukan rumus dengan metode jumlah runtuh.
1.
2.
3.
4.


Jawab
1. =
(2-1) + (3-2) + ... + {n-(n-1)} + {(n+1)-n} =
(n+1)-1 =
= n
Jadi : = n .................................................................... i


2. =
(22 – 12) + (32 – 22) + (42-32) + ... + {(n+1)2 – n2} = +
(n+1)2 – 12 = + n
n2 + 2n = + n
= = n2 + n

Jadi = .................................................................... ii

Atau 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =


3. =
(23 – 13) + (33 – 23) + ... + {(n+1)3 – n3} = + +
(n+1)3 – 13 = + +
n3 + 3n2 + 3n = +
=
=
=
=
Jadi = .......................................................iii
Atau 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 = =
4. =
(n+1)4 – 14 = + + +
(n+1)4 – 14 = + + +
= + + + n
= - - - n
=
=
Jadi = .......................................... iv

Atau : 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 = =





4. Binomial Ekspansion :
Contoh soal :
1. Andaikan kita mempunyai n kapling tanah dan hendak dibangun rumah diatasnya dengan ketentuan boleh membangun semua atau boleh sebagian saja, ada berapa cara hal itui dapat dilakukan?


n-kapling Cara membangun Perhitungan dengan kombinasi Banyak cara
1 1 kapling dibangun
1
2 Dua kapling dibangun 1 atau dibangun semua +
3
3 Tiga kapling dibangun 1 atau dibangun 2 atau dibangun semua + +
7
4 Dibangun 1 atau 2 atau 3 atau semua + + +
15
24

Bila diperhatikan pola bilangan pada tabel diatas mengikuti pola ekspansi binomial berikut:

(a + b)n = = + + + …+

Jika a = b = 1 maka diperoleh ekspansi untuk 2n dalam kombinatorial
2n = + + + …+
Banyak cara membangun n kapling adalah :
+ + +…+ = 2n – = 2n – 1


2. Jika pada soal nomor 1 kita harus membangun pada seluruh lahan ada berapa cara?


































5. Pola Rekursif
Soal :
1. Diketahui : U1 = 1, U2 = 0 dan Un = Un-1 + 6 Un-2 tentukan Un = ...

Jawab :
Barisan bilangan yang terbentuk adalah sebgai berikut :
1, 0, 6, 6, 42, 78, 330, 798, ...

Diketahui Un = Un-1 + 6 Un-2
Misalkan ada kUn-1 sehingga :
Un + kUn-1 = kUn-1 + Un-1 + 6 Un-2

Vn = λ{ Vn-1 } ........................ i)


Dari ruas kiri :

Vn =
Vn-1 = Un-1 + k Un-2 ....... ii)


Dari ruas kanan :

λ = (k+1)
Vn-1 = .... iii)


Dari ii) dan iii) didapat : =
k =
k2 + k – 6 = 0
sehingga k1 = 2 ; k2 = -3 dan
sehingga λ1 = 3 ; λ2 = -2

 Untuk k1 = 2 dan λ1 = 3


Dari ii) Vn = Un + kUn-1
V2 = U2 + 2Un-1
V2 = 0 + 2.1
V2 = 2

Dari i) Vn = λ{ Vn-1 }
V3 = 3 V2
V4 = 3 V3
V5 = 3 V4
.....
Vn = 3 Vn-1 x
Vn = 3(n-2).V2
Vn = 2. 3(n-2) ............. iv)


Kemudian dari ii) Vn = Un + kUn-1 secara rekursif diperoleh
Un = Vn – 2 Un-1
= Vn – 2( Vn-1 – 2 Un-2 )
= Vn – 2( Vn-1 – 2 (Vn-2 – 2 Un-3 )
.....
= Vn – 2( Vn-1 – 2 (Vn-2 – 2 (Vn-3 – 2(Vn-4 – 2 (Vn-5 – 2 ... ) ...)
= Vn – 2Vn-1 + 4Vn-2 – 8Vn-3 + 16Vn-4 – 32 (Vn-5 – 2 ... ) ...)
= 2. 3(n-2) – 2.2. 3(n-3) + 4. 2. 3(n-4) – 8. 2. 3(n-5) + 16. 2. 3(n-6) – ...
Un = 2. 3(n-2) – 22. 3(n-3) + 23. 3(n-4) – 24. 3(n-5) + 25. 3(n-6) - ... .............. v)

Tampak bahwa Un dalam persamaan v) merupakan deret geometri dengan suku pertama a = 2. 3(n-2) dan rasio r = dan banyak suku n-2
Jadi secara eksplisit Un dapat dinyatakan dengan Sn-2 deret geometri

Un = S(n-2) =
=
Un = S(n-2) = untuk n 3


Bukti :
n=3 : U3 = S(3-2) = = = = 6

n=4 : U4 = S(4-2) = = = = 6

n=5 : U5 = S(5-2) = = = = 42

n=6 : U6 = S(6-2) = = = = 78


n=k : Uk = S(k-2) =




 Untuk k1 = –3 dan λ1 = –2


Dari ii) Vn = Un + kUn-1
V2 = U2 – 3Un-1
V2 = 0 – 3.1
V2 = –3

Dari i) Vn = λ{ Vn-1 }
V3 = –2 V2
V4 = –2 V3
V5 = –2 V4
.....
Vn = –2 Vn-1 x
Vn = (–2)(n-2).V2
Vn = (–3). (–2)(n-2) ............. iv)


Kemudian dari ii) Vn = Un + kUn-1 secara rekursif diperoleh
Un = Vn + 3 Un-1
= Vn + 3( Vn-1 + 3 Un-2 )
= Vn + 3( Vn-1 + 3 (Vn-2 + 3 Un-3 )
.....
= Vn + 3( Vn-1 + 3 (Vn-2 + 3 (Vn-3 + 3(Vn-4 + 3 (Vn-5 + 3 ... ) ...)
= Vn + 3Vn-1 + 9Vn-2 + 27Vn-3 + 81Vn-4 + 243 (Vn-5 + 3 ... ) ...)
= (–3). (–2)(n-2) + 3. (–3). (–2) (n-3) + 9 (-3)(-2)(n-4) + 27 (-3)(-2)(n-5) + ...
Un = (–3). (–2)(n-2) - 9.(-2)(n-3) - 27.(-2)(n-4) - 81(-2)(n-5) - ... ........ v)

Tampak bahwa Un dalam persamaan v) merupakan deret geometri dengan suku pertama a = (-3). (-2)(n-2) dan rasio r =- dan banyak suku n-2
Jadi secara eksplisit Un dapat dinyatakan dengan Sn-2 deret geometri

Un = S(n-2) =
=
Un = S(n-2) = untuk n 3


2. Diketahui barisan bilangan Fibonacci : U1 = U0 = 1 dan Un+2 = Un+1 + Un tentukan Un = ....

Jawab :

Barisan Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...dapat dinyatakan sebagai koefisien binomial (a+b)n dalam kombinasi nCr = dengan susunan berikut :

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 - - - - - - - - -
1 - 1 1 - - - - - - -
2 - - 1 2 1 - - - - -
3 - - - 1 3 3 1 - - -
4 - - - - 1 4 6 4 1 -
5 - - - - - 1 5 10 10 5
5 - - - - - - 1 6 15 20
6 - - - - - - - 1 7 21
7 - - - - - - - - 1 8
8 - - - - - - - - - 1

Un : 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Nilai Un dapat ditulis sebagai penjumlahan kombinasi diperoleh :

U0 = =1
U1 = = 1
U2 = + = 1+1 = 2
U3 = + = 2 + 1 = 3
U4 = + + = 1 + 3 + 1 = 5
U5 = + + = 3 + 4 + 1 = 8
U6 = + + + = 1 + 6 + 5 + 1 = 13
U7 = + + + = 4 +10 + 6 + 1 = 21
U8 = + + + + = 1 + 10 + 15 + 7 + 1 = 34
U9 = + + + + = 5 + 20 + 21 + 8 + 1 = 55
Pola Un tidak sama untuk suku ganjil dan suku genap sehingga rumus barisan fibonacci dapat dinyatakan dalam 2 partisi ganjil dan genap :

untuk n ganjil
Un =
untuk n genap

Contoh :
U10 =
= + + + + +
= 1 + 15 + 35 +28 +9 +1
= 89

U17 =
= + + + + + + + +
= 9 + 120 +462 +792 +715 + 364+ 105 + 16 + 1
= 2584




Cara 2
Barisan yang terbentuk ialah : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...

Misalkan ada kUn-1 kita tambahkan ke kiri dan ke kanan sehingga :



Vn = λ{ Vn-1 }


Dari ruas kiri :

Vn =
Vn-1 = Un-1 + k Un-2 .......i)


Dari ruas kanan :

λ = (k+1)
Vn-1 = .....ii)

Dari i) dan ii) didapat : =
k =
k2 + k – 1 = 0 sehingga
dan
 Untuk dan

Suku ke n barisan itu dapat digambarkan dengan melukis bujursangkar ke-n dengan panjang rusuk sama dengan rusuk dua bujursangkar sebelumnya desuai dengan rumus S(n) = S(n-1) + S(n-2)


Barisan itu seolah dapat dipecah menjadi
1, 2, 5, 13, 34, 89, ... dan
1, 3, 8, 21, 55, 144, ...

S(n) = S(n-1) + S(n-2)
S(n-1) = S(n-2) + S(n-3)
S(n-2) = S(n-3) + S(n-4)
...
S(n) = S(n-1) + S(n-2)


6. Induksi matematika
Buktikan dengan Induksi Matematika
1).
2). Selidiki apakah papan berukuran 3.2n dapat ditutupi ubin , kalau ya buktikan, kalau tidak beri contoh penyangkal
3). Selidiki apakah papan berukuran 3n3n dapat dtutupi oleh ubin seperti pada soal no 2


7. Analogi