Senin, 09 Februari 2009

BARISAN, DERET DAN POLA BILANGAN.

BARISAN, DERET DAN POLA BILANGAN.

1. Barisan dengan selisih tingkat pertama tetap.

Barisan bilangan dipandang sebagai fungsi yang memetakan bilangan Asli ke bilangan Real f : N R sehingga f(n) = Un.
Andaikan : U1, U2, U3, U4, U5, …., Un adalah barisan bilangan dimana selisih tingkat pertama suku-sukunya secara berurutan konstan (tetap) maka disebut, barisan aritmetika.

Misalkan : U2-U1= U3-U2 = U4-U3 = ..... = Un-Un-1 = t ; tetap ................ 1a)
dari 1a) U2 - U1 = t
U3 - U2 = t
U4 - U3 = t
...........
Un - Un-1 = t +
Un – U1 = (n-1)t

Un = U1 +(n-1)t ................................. 1b)

Contoh : Tentukan Un
1. Barisan : 3, 5, 7, 9, ...
2. Barisan : 5, 8, 11, 14, ...
Jawab :
1. Selisih tingkat pertama tetap b = 2 ; U1 = 3 maka Un = 2n+1
2. Selisih tingkat pertama tetap b = 3 ; U1 = 5 maka Un = 3n + 2

2. Barisan dengan selisih tingkat ke-m tetap
Andaikan diketahui barisan : U1, U2, U3, U4, U5, …., Un dimana selisih tingkat 1 , selisih tingkat 2 ,selisih tingkat 3 dan serterusnya dimisalkan a, b, c, d,... dan seterusnya maka kita dapat menyusun barisan itu beserta selisihnya sebagai berikut :

Un : U1, U1+a , U1+2a+b , U1+3a+3b+c , U1+4a+6b+4c+d , …. , Un
Vi : a a+b a+2b+c a+3b+3c+d a+4b+6c+4d+e
Wj : b b+c b+2c+d b+3c+3d+e ...
Xk : c c+d c+2d+2e ...
Yl : d d +e ...
Zm : e ...
... dan seterusnya ....
Perhatikan Pola Un, koefisien-koefisien U1, a , b , c , d , e , ..... mengikuti pola bilangan pada segitiga pascal,
Tabel Segitiga Pascal Pola Binomial
Sehingga :
U1 = U1
U2 = U1 + a
U3 = U1 + 2a + b
U4 = U1 + 3a + 3b + c
U5 = U1 + 4a + 6b + 4c + d
U6 = U1 + 5a + 10b + 10c + 5d + e

Un = U1 + a + b + c + d + e + .... n N

uraian U1, a , b , c , d , e , .... ditentukan oleh selisihnya sampai tingkat ke berapa ia bernilai tetap.
Misalnya :
Jika selisih tingkat 1 tetap maka b = c = d = ... = 0 sehingga uraian Un terdiri dari U1 dan a dengan rumus Un = U1 + a
Jika selisih tingkat 2 tetap maka c = d = e = ... = 0 sehingga uraian Un terdiri dari U1, a dan b dengan rumus Un = U1 + a + b
Jika selisih tingkat 3 tetap maka d = e = f = ... = 0 sehingga uraian Un terdiri dari U1, a, b dan c dengan rumus Un = U1 + a + b + c
Jika selisih tingkat 4 tetap maka Un = U1 + a + b + c+ d
Dan seterusnya.
Soal Tugas : Tentukan Un untuk barisan berikut:
1) Un : 12, 12+22, 12+22+32, 12+22+32+42, 12+22+32+42+52, ....
2) Un : 13, 13+23, 13+23+33, 13+23+33+43, 13+23+33+43+53, ...
3) Diketahui bilangan tripel pythagoras sebagai berikut :
32 + 42 = 52
52 + 122 = 132
72 + 242 = 252
92 + 402 = 412
...? + ...? = ....?


Jawab 1)
Cara 1 : dengan rumus :
Un : 12, 12+22, 12+22+32, 12+22+32+42, 12+22+32+42+52, .... atau
Un : 1 , 5 , 14 , 30 , 55 , ...
4 9 16 25
5 7 9
2 2
Barisan dengan selisih tingkat 3 tetap dimana U1= 1 ; a = 4 ; b = 5 ; c=2
Un = U1 + a + b + c
Un = 1 + 4 + 5 + 2
Un = 1 + 4(n-1) + +
Un =
Un =
Un =
Un =
Jadi : Un =


Cara 2 Karena selisih tingkat 3 tetap kita mengasumsikan barisan itu merupakan fungsi pangkat 3 dari bilangan asli dengan bentuk umum Un = f(n) = an3 + bn2 + cn + d

Dengan mensubstitusi U1, U2, U3 dan U4 didapat SPL 4 peubah
U1 = f(1) = a + b + c + d = 1
U2 = f(2) = 8a + 4b + 2c + d = 5
U3 = f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 14
U4 = f(4) = 64a + 16b + 4c + d = 30

dengan eliminasi d didapat
7a + 3b + c = 4
19a + 5b + c = 9
37a + 7b + c = 16
dengan eliminasi c didapat
12a + 2b = 5
18a + 2b = 7

Dengan eliminasi b didapat 6a = 2 atau a = 1/3. Dengan substitusi didapat b=1/2 ; c = 1/6 dan d = 0
Jadi Un= f(n) =

Atau : Un = f(n)

Jawab 2)
Cara 1 dengan rumus :

Un : 13 , 13+23 , 13+23+33 , 13+23+33+43 , 13+23+33+43+53, ... atau
Un : 1 , 9 , 36 , 100 , 225 , ... atau
Un : 12 , (3)2 , (6)2 , (10)2 , (15)2 , ...
Bilangan dasarnya membentuk barisan dengan pola sebagai berikut :
Un’ : 1 , 3 , 6 , 10 , 15
2 3 4 5
1 1 1
Selisih tingkat 2 tetap dimana U1=1, a = 2, dan b = 1.

Un’ = U1 + a + b
Un’ = 1 + 2 + 1
Un‘= 1 + 2(n-1) +
Un’ = 2n-1 +
Un’ =
Un’ = =

Jadi : Un = = =



Cara 2 Dengan memperhatikan pola :
Un : 13 , 13+23 , 13+23+33 , 13+23+33+43 , 13+23+33+43+53, ... atau
Un : 1 , 9 , 36 , 100 , 225 , ... atau
Un : 12, (1+2)2 , (1+2+3)2 , (1+2+3+4)2 , (1+2+3+4+5)2 , ...
Pola yang terbentuk adalah kuadrat dari jumlah n bilangan asli berurutan.
Jadi : Un = = = =

Jawab 3)
Diketahui bilangan tripel pythagoras sebagai berikut, tentukan tripel berikutnya
32 + 42 = 52
52 + 122 = 132
72 + 242 = 252
92 + 402 = 412
...? + ...? = ....?
Misalkan bilangan – bilangan itu
Xn : 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , ......
Selisih tingkat 1 tetap dimana U1= 3 , a = 2
Xn = U1 + a
Xn = 3 + 2
Xn = 3 +2(n-1) = 2n +1 ............................. i

Yn : 4 , 12 , 24 , 40 , 60 , ......
8 12 16 20
4 4 4
Selisih tingkat 2 tetap dimana U1 = 4 , a = 8 dan b = 4
Yn = U1 + a + b
Yn = 4 + 8 + 4
Yn = 4 +8(n-1) + 2(n-1)(n-2)
Yn = 4 + 8n - 8 + 2n2 - 6n +4
Yn = 2n2 +2n = 2n(n+1) ..................................................... ii

Zn : 5 , 13 , 25 , 41 , 61 , ......
8 12 16 20
4 4 4
Selisih tingkat 2 tetap dimana U1 = 5 , a = 8 dan b = 4
Zn = U1 + a + b
Zn = 5 + 8 + 4
Zn = 5 + 8(n-1) + 2(n-1)(n-2)
Zn = 8n-3 + 2n2-6n+4
Zn = 2n2+2n+1 = 2n(n+1) + 1 .......................................... iii
Dari i , ii dan iii didapat
Bilangan berikutnya yang memenuhi tripel pythagoras di atas adalah





3. M etode Jumlah Runtuh :

Contoh : Hitunglah dan temukan rumus dengan metode jumlah runtuh.
1.
2.
3.
4.


Jawab
1. =
(2-1) + (3-2) + ... + {n-(n-1)} + {(n+1)-n} =
(n+1)-1 =
= n
Jadi : = n .................................................................... i


2. =
(22 – 12) + (32 – 22) + (42-32) + ... + {(n+1)2 – n2} = +
(n+1)2 – 12 = + n
n2 + 2n = + n
= = n2 + n

Jadi = .................................................................... ii

Atau 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =


3. =
(23 – 13) + (33 – 23) + ... + {(n+1)3 – n3} = + +
(n+1)3 – 13 = + +
n3 + 3n2 + 3n = +
=
=
=
=
Jadi = .......................................................iii
Atau 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 = =
4. =
(n+1)4 – 14 = + + +
(n+1)4 – 14 = + + +
= + + + n
= - - - n
=
=
Jadi = .......................................... iv

Atau : 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 = =





4. Binomial Ekspansion :
Contoh soal :
1. Andaikan kita mempunyai n kapling tanah dan hendak dibangun rumah diatasnya dengan ketentuan boleh membangun semua atau boleh sebagian saja, ada berapa cara hal itui dapat dilakukan?


n-kapling Cara membangun Perhitungan dengan kombinasi Banyak cara
1 1 kapling dibangun
1
2 Dua kapling dibangun 1 atau dibangun semua +
3
3 Tiga kapling dibangun 1 atau dibangun 2 atau dibangun semua + +
7
4 Dibangun 1 atau 2 atau 3 atau semua + + +
15
24

Bila diperhatikan pola bilangan pada tabel diatas mengikuti pola ekspansi binomial berikut:

(a + b)n = = + + + …+

Jika a = b = 1 maka diperoleh ekspansi untuk 2n dalam kombinatorial
2n = + + + …+
Banyak cara membangun n kapling adalah :
+ + +…+ = 2n – = 2n – 1


2. Jika pada soal nomor 1 kita harus membangun pada seluruh lahan ada berapa cara?


































5. Pola Rekursif
Soal :
1. Diketahui : U1 = 1, U2 = 0 dan Un = Un-1 + 6 Un-2 tentukan Un = ...

Jawab :
Barisan bilangan yang terbentuk adalah sebgai berikut :
1, 0, 6, 6, 42, 78, 330, 798, ...

Diketahui Un = Un-1 + 6 Un-2
Misalkan ada kUn-1 sehingga :
Un + kUn-1 = kUn-1 + Un-1 + 6 Un-2

Vn = λ{ Vn-1 } ........................ i)


Dari ruas kiri :

Vn =
Vn-1 = Un-1 + k Un-2 ....... ii)


Dari ruas kanan :

λ = (k+1)
Vn-1 = .... iii)


Dari ii) dan iii) didapat : =
k =
k2 + k – 6 = 0
sehingga k1 = 2 ; k2 = -3 dan
sehingga λ1 = 3 ; λ2 = -2

 Untuk k1 = 2 dan λ1 = 3


Dari ii) Vn = Un + kUn-1
V2 = U2 + 2Un-1
V2 = 0 + 2.1
V2 = 2

Dari i) Vn = λ{ Vn-1 }
V3 = 3 V2
V4 = 3 V3
V5 = 3 V4
.....
Vn = 3 Vn-1 x
Vn = 3(n-2).V2
Vn = 2. 3(n-2) ............. iv)


Kemudian dari ii) Vn = Un + kUn-1 secara rekursif diperoleh
Un = Vn – 2 Un-1
= Vn – 2( Vn-1 – 2 Un-2 )
= Vn – 2( Vn-1 – 2 (Vn-2 – 2 Un-3 )
.....
= Vn – 2( Vn-1 – 2 (Vn-2 – 2 (Vn-3 – 2(Vn-4 – 2 (Vn-5 – 2 ... ) ...)
= Vn – 2Vn-1 + 4Vn-2 – 8Vn-3 + 16Vn-4 – 32 (Vn-5 – 2 ... ) ...)
= 2. 3(n-2) – 2.2. 3(n-3) + 4. 2. 3(n-4) – 8. 2. 3(n-5) + 16. 2. 3(n-6) – ...
Un = 2. 3(n-2) – 22. 3(n-3) + 23. 3(n-4) – 24. 3(n-5) + 25. 3(n-6) - ... .............. v)

Tampak bahwa Un dalam persamaan v) merupakan deret geometri dengan suku pertama a = 2. 3(n-2) dan rasio r = dan banyak suku n-2
Jadi secara eksplisit Un dapat dinyatakan dengan Sn-2 deret geometri

Un = S(n-2) =
=
Un = S(n-2) = untuk n 3


Bukti :
n=3 : U3 = S(3-2) = = = = 6

n=4 : U4 = S(4-2) = = = = 6

n=5 : U5 = S(5-2) = = = = 42

n=6 : U6 = S(6-2) = = = = 78


n=k : Uk = S(k-2) =




 Untuk k1 = –3 dan λ1 = –2


Dari ii) Vn = Un + kUn-1
V2 = U2 – 3Un-1
V2 = 0 – 3.1
V2 = –3

Dari i) Vn = λ{ Vn-1 }
V3 = –2 V2
V4 = –2 V3
V5 = –2 V4
.....
Vn = –2 Vn-1 x
Vn = (–2)(n-2).V2
Vn = (–3). (–2)(n-2) ............. iv)


Kemudian dari ii) Vn = Un + kUn-1 secara rekursif diperoleh
Un = Vn + 3 Un-1
= Vn + 3( Vn-1 + 3 Un-2 )
= Vn + 3( Vn-1 + 3 (Vn-2 + 3 Un-3 )
.....
= Vn + 3( Vn-1 + 3 (Vn-2 + 3 (Vn-3 + 3(Vn-4 + 3 (Vn-5 + 3 ... ) ...)
= Vn + 3Vn-1 + 9Vn-2 + 27Vn-3 + 81Vn-4 + 243 (Vn-5 + 3 ... ) ...)
= (–3). (–2)(n-2) + 3. (–3). (–2) (n-3) + 9 (-3)(-2)(n-4) + 27 (-3)(-2)(n-5) + ...
Un = (–3). (–2)(n-2) - 9.(-2)(n-3) - 27.(-2)(n-4) - 81(-2)(n-5) - ... ........ v)

Tampak bahwa Un dalam persamaan v) merupakan deret geometri dengan suku pertama a = (-3). (-2)(n-2) dan rasio r =- dan banyak suku n-2
Jadi secara eksplisit Un dapat dinyatakan dengan Sn-2 deret geometri

Un = S(n-2) =
=
Un = S(n-2) = untuk n 3


2. Diketahui barisan bilangan Fibonacci : U1 = U0 = 1 dan Un+2 = Un+1 + Un tentukan Un = ....

Jawab :

Barisan Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...dapat dinyatakan sebagai koefisien binomial (a+b)n dalam kombinasi nCr = dengan susunan berikut :

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 - - - - - - - - -
1 - 1 1 - - - - - - -
2 - - 1 2 1 - - - - -
3 - - - 1 3 3 1 - - -
4 - - - - 1 4 6 4 1 -
5 - - - - - 1 5 10 10 5
5 - - - - - - 1 6 15 20
6 - - - - - - - 1 7 21
7 - - - - - - - - 1 8
8 - - - - - - - - - 1

Un : 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Nilai Un dapat ditulis sebagai penjumlahan kombinasi diperoleh :

U0 = =1
U1 = = 1
U2 = + = 1+1 = 2
U3 = + = 2 + 1 = 3
U4 = + + = 1 + 3 + 1 = 5
U5 = + + = 3 + 4 + 1 = 8
U6 = + + + = 1 + 6 + 5 + 1 = 13
U7 = + + + = 4 +10 + 6 + 1 = 21
U8 = + + + + = 1 + 10 + 15 + 7 + 1 = 34
U9 = + + + + = 5 + 20 + 21 + 8 + 1 = 55
Pola Un tidak sama untuk suku ganjil dan suku genap sehingga rumus barisan fibonacci dapat dinyatakan dalam 2 partisi ganjil dan genap :

untuk n ganjil
Un =
untuk n genap

Contoh :
U10 =
= + + + + +
= 1 + 15 + 35 +28 +9 +1
= 89

U17 =
= + + + + + + + +
= 9 + 120 +462 +792 +715 + 364+ 105 + 16 + 1
= 2584




Cara 2
Barisan yang terbentuk ialah : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...

Misalkan ada kUn-1 kita tambahkan ke kiri dan ke kanan sehingga :



Vn = λ{ Vn-1 }


Dari ruas kiri :

Vn =
Vn-1 = Un-1 + k Un-2 .......i)


Dari ruas kanan :

λ = (k+1)
Vn-1 = .....ii)

Dari i) dan ii) didapat : =
k =
k2 + k – 1 = 0 sehingga
dan
 Untuk dan

Suku ke n barisan itu dapat digambarkan dengan melukis bujursangkar ke-n dengan panjang rusuk sama dengan rusuk dua bujursangkar sebelumnya desuai dengan rumus S(n) = S(n-1) + S(n-2)


Barisan itu seolah dapat dipecah menjadi
1, 2, 5, 13, 34, 89, ... dan
1, 3, 8, 21, 55, 144, ...

S(n) = S(n-1) + S(n-2)
S(n-1) = S(n-2) + S(n-3)
S(n-2) = S(n-3) + S(n-4)
...
S(n) = S(n-1) + S(n-2)


6. Induksi matematika
Buktikan dengan Induksi Matematika
1).
2). Selidiki apakah papan berukuran 3.2n dapat ditutupi ubin , kalau ya buktikan, kalau tidak beri contoh penyangkal
3). Selidiki apakah papan berukuran 3n3n dapat dtutupi oleh ubin seperti pada soal no 2


7. Analogi

Tidak ada komentar: