BARISAN, DERET DAN POLA BILANGAN.
1. Barisan dengan selisih tingkat pertama tetap.
Barisan bilangan dipandang sebagai fungsi yang memetakan bilangan Asli ke bilangan Real f : N R sehingga f(n) = Un.
Andaikan : U1, U2, U3, U4, U5, …., Un adalah barisan bilangan dimana selisih tingkat pertama suku-sukunya secara berurutan konstan (tetap) maka disebut, barisan aritmetika.
Misalkan : U2-U1= U3-U2 = U4-U3 = ..... = Un-Un-1 = t ; tetap ................ 1a)
dari 1a) U2 - U1 = t
U3 - U2 = t
U4 - U3 = t
...........
Un - Un-1 = t +
Un – U1 = (n-1)t
Un = U1 +(n-1)t ................................. 1b)
Contoh : Tentukan Un
1. Barisan : 3, 5, 7, 9, ...
2. Barisan : 5, 8, 11, 14, ...
Jawab :
1. Selisih tingkat pertama tetap b = 2 ; U1 = 3 maka Un = 2n+1
2. Selisih tingkat pertama tetap b = 3 ; U1 = 5 maka Un = 3n + 2
2. Barisan dengan selisih tingkat ke-m tetap
Andaikan diketahui barisan : U1, U2, U3, U4, U5, …., Un dimana selisih tingkat 1 , selisih tingkat 2 ,selisih tingkat 3 dan serterusnya dimisalkan a, b, c, d,... dan seterusnya maka kita dapat menyusun barisan itu beserta selisihnya sebagai berikut :
Un : U1, U1+a , U1+2a+b , U1+3a+3b+c , U1+4a+6b+4c+d , …. , Un
Vi : a a+b a+2b+c a+3b+3c+d a+4b+6c+4d+e
Wj : b b+c b+2c+d b+3c+3d+e ...
Xk : c c+d c+2d+2e ...
Yl : d d +e ...
Zm : e ...
... dan seterusnya ....
Perhatikan Pola Un, koefisien-koefisien U1, a , b , c , d , e , ..... mengikuti pola bilangan pada segitiga pascal,
Tabel Segitiga Pascal Pola Binomial
Sehingga :
U1 = U1
U2 = U1 + a
U3 = U1 + 2a + b
U4 = U1 + 3a + 3b + c
U5 = U1 + 4a + 6b + 4c + d
U6 = U1 + 5a + 10b + 10c + 5d + e
Un = U1 + a + b + c + d + e + .... n N
uraian U1, a , b , c , d , e , .... ditentukan oleh selisihnya sampai tingkat ke berapa ia bernilai tetap.
Misalnya :
Jika selisih tingkat 1 tetap maka b = c = d = ... = 0 sehingga uraian Un terdiri dari U1 dan a dengan rumus Un = U1 + a
Jika selisih tingkat 2 tetap maka c = d = e = ... = 0 sehingga uraian Un terdiri dari U1, a dan b dengan rumus Un = U1 + a + b
Jika selisih tingkat 3 tetap maka d = e = f = ... = 0 sehingga uraian Un terdiri dari U1, a, b dan c dengan rumus Un = U1 + a + b + c
Jika selisih tingkat 4 tetap maka Un = U1 + a + b + c+ d
Dan seterusnya.
Soal Tugas : Tentukan Un untuk barisan berikut:
1) Un : 12, 12+22, 12+22+32, 12+22+32+42, 12+22+32+42+52, ....
2) Un : 13, 13+23, 13+23+33, 13+23+33+43, 13+23+33+43+53, ...
3) Diketahui bilangan tripel pythagoras sebagai berikut :
32 + 42 = 52
52 + 122 = 132
72 + 242 = 252
92 + 402 = 412
...? + ...? = ....?
Jawab 1)
Cara 1 : dengan rumus :
Un : 12, 12+22, 12+22+32, 12+22+32+42, 12+22+32+42+52, .... atau
Un : 1 , 5 , 14 , 30 , 55 , ...
4 9 16 25
5 7 9
2 2
Barisan dengan selisih tingkat 3 tetap dimana U1= 1 ; a = 4 ; b = 5 ; c=2
Un = U1 + a + b + c
Un = 1 + 4 + 5 + 2
Un = 1 + 4(n-1) + +
Un =
Un =
Un =
Un =
Jadi : Un =
Cara 2 Karena selisih tingkat 3 tetap kita mengasumsikan barisan itu merupakan fungsi pangkat 3 dari bilangan asli dengan bentuk umum Un = f(n) = an3 + bn2 + cn + d
Dengan mensubstitusi U1, U2, U3 dan U4 didapat SPL 4 peubah
U1 = f(1) = a + b + c + d = 1
U2 = f(2) = 8a + 4b + 2c + d = 5
U3 = f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 14
U4 = f(4) = 64a + 16b + 4c + d = 30
dengan eliminasi d didapat
7a + 3b + c = 4
19a + 5b + c = 9
37a + 7b + c = 16
dengan eliminasi c didapat
12a + 2b = 5
18a + 2b = 7
Dengan eliminasi b didapat 6a = 2 atau a = 1/3. Dengan substitusi didapat b=1/2 ; c = 1/6 dan d = 0
Jadi Un= f(n) =
Atau : Un = f(n)
Jawab 2)
Cara 1 dengan rumus :
Un : 13 , 13+23 , 13+23+33 , 13+23+33+43 , 13+23+33+43+53, ... atau
Un : 1 , 9 , 36 , 100 , 225 , ... atau
Un : 12 , (3)2 , (6)2 , (10)2 , (15)2 , ...
Bilangan dasarnya membentuk barisan dengan pola sebagai berikut :
Un’ : 1 , 3 , 6 , 10 , 15
2 3 4 5
1 1 1
Selisih tingkat 2 tetap dimana U1=1, a = 2, dan b = 1.
Un’ = U1 + a + b
Un’ = 1 + 2 + 1
Un‘= 1 + 2(n-1) +
Un’ = 2n-1 +
Un’ =
Un’ = =
Jadi : Un = = =
Cara 2 Dengan memperhatikan pola :
Un : 13 , 13+23 , 13+23+33 , 13+23+33+43 , 13+23+33+43+53, ... atau
Un : 1 , 9 , 36 , 100 , 225 , ... atau
Un : 12, (1+2)2 , (1+2+3)2 , (1+2+3+4)2 , (1+2+3+4+5)2 , ...
Pola yang terbentuk adalah kuadrat dari jumlah n bilangan asli berurutan.
Jadi : Un = = = =
Jawab 3)
Diketahui bilangan tripel pythagoras sebagai berikut, tentukan tripel berikutnya
32 + 42 = 52
52 + 122 = 132
72 + 242 = 252
92 + 402 = 412
...? + ...? = ....?
Misalkan bilangan – bilangan itu
Xn : 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , ......
Selisih tingkat 1 tetap dimana U1= 3 , a = 2
Xn = U1 + a
Xn = 3 + 2
Xn = 3 +2(n-1) = 2n +1 ............................. i
Yn : 4 , 12 , 24 , 40 , 60 , ......
8 12 16 20
4 4 4
Selisih tingkat 2 tetap dimana U1 = 4 , a = 8 dan b = 4
Yn = U1 + a + b
Yn = 4 + 8 + 4
Yn = 4 +8(n-1) + 2(n-1)(n-2)
Yn = 4 + 8n - 8 + 2n2 - 6n +4
Yn = 2n2 +2n = 2n(n+1) ..................................................... ii
Zn : 5 , 13 , 25 , 41 , 61 , ......
8 12 16 20
4 4 4
Selisih tingkat 2 tetap dimana U1 = 5 , a = 8 dan b = 4
Zn = U1 + a + b
Zn = 5 + 8 + 4
Zn = 5 + 8(n-1) + 2(n-1)(n-2)
Zn = 8n-3 + 2n2-6n+4
Zn = 2n2+2n+1 = 2n(n+1) + 1 .......................................... iii
Dari i , ii dan iii didapat
Bilangan berikutnya yang memenuhi tripel pythagoras di atas adalah
3. M etode Jumlah Runtuh :
Contoh : Hitunglah dan temukan rumus dengan metode jumlah runtuh.
1.
2.
3.
4.
Jawab
1. =
(2-1) + (3-2) + ... + {n-(n-1)} + {(n+1)-n} =
(n+1)-1 =
= n
Jadi : = n .................................................................... i
2. =
(22 – 12) + (32 – 22) + (42-32) + ... + {(n+1)2 – n2} = +
(n+1)2 – 12 = + n
n2 + 2n = + n
= = n2 + n
Jadi = .................................................................... ii
Atau 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
3. =
(23 – 13) + (33 – 23) + ... + {(n+1)3 – n3} = + +
(n+1)3 – 13 = + +
n3 + 3n2 + 3n = +
=
=
=
=
Jadi = .......................................................iii
Atau 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 = =
4. =
(n+1)4 – 14 = + + +
(n+1)4 – 14 = + + +
= + + + n
= - - - n
=
=
Jadi = .......................................... iv
Atau : 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 = =
4. Binomial Ekspansion :
Contoh soal :
1. Andaikan kita mempunyai n kapling tanah dan hendak dibangun rumah diatasnya dengan ketentuan boleh membangun semua atau boleh sebagian saja, ada berapa cara hal itui dapat dilakukan?
n-kapling Cara membangun Perhitungan dengan kombinasi Banyak cara
1 1 kapling dibangun
1
2 Dua kapling dibangun 1 atau dibangun semua +
3
3 Tiga kapling dibangun 1 atau dibangun 2 atau dibangun semua + +
7
4 Dibangun 1 atau 2 atau 3 atau semua + + +
15
24
Bila diperhatikan pola bilangan pada tabel diatas mengikuti pola ekspansi binomial berikut:
(a + b)n = = + + + …+
Jika a = b = 1 maka diperoleh ekspansi untuk 2n dalam kombinatorial
2n = + + + …+
Banyak cara membangun n kapling adalah :
+ + +…+ = 2n – = 2n – 1
2. Jika pada soal nomor 1 kita harus membangun pada seluruh lahan ada berapa cara?
5. Pola Rekursif
Soal :
1. Diketahui : U1 = 1, U2 = 0 dan Un = Un-1 + 6 Un-2 tentukan Un = ...
Jawab :
Barisan bilangan yang terbentuk adalah sebgai berikut :
1, 0, 6, 6, 42, 78, 330, 798, ...
Diketahui Un = Un-1 + 6 Un-2
Misalkan ada kUn-1 sehingga :
Un + kUn-1 = kUn-1 + Un-1 + 6 Un-2
Vn = λ{ Vn-1 } ........................ i)
Dari ruas kiri :
Vn =
Vn-1 = Un-1 + k Un-2 ....... ii)
Dari ruas kanan :
λ = (k+1)
Vn-1 = .... iii)
Dari ii) dan iii) didapat : =
k =
k2 + k – 6 = 0
sehingga k1 = 2 ; k2 = -3 dan
sehingga λ1 = 3 ; λ2 = -2
Untuk k1 = 2 dan λ1 = 3
Dari ii) Vn = Un + kUn-1
V2 = U2 + 2Un-1
V2 = 0 + 2.1
V2 = 2
Dari i) Vn = λ{ Vn-1 }
V3 = 3 V2
V4 = 3 V3
V5 = 3 V4
.....
Vn = 3 Vn-1 x
Vn = 3(n-2).V2
Vn = 2. 3(n-2) ............. iv)
Kemudian dari ii) Vn = Un + kUn-1 secara rekursif diperoleh
Un = Vn – 2 Un-1
= Vn – 2( Vn-1 – 2 Un-2 )
= Vn – 2( Vn-1 – 2 (Vn-2 – 2 Un-3 )
.....
= Vn – 2( Vn-1 – 2 (Vn-2 – 2 (Vn-3 – 2(Vn-4 – 2 (Vn-5 – 2 ... ) ...)
= Vn – 2Vn-1 + 4Vn-2 – 8Vn-3 + 16Vn-4 – 32 (Vn-5 – 2 ... ) ...)
= 2. 3(n-2) – 2.2. 3(n-3) + 4. 2. 3(n-4) – 8. 2. 3(n-5) + 16. 2. 3(n-6) – ...
Un = 2. 3(n-2) – 22. 3(n-3) + 23. 3(n-4) – 24. 3(n-5) + 25. 3(n-6) - ... .............. v)
Tampak bahwa Un dalam persamaan v) merupakan deret geometri dengan suku pertama a = 2. 3(n-2) dan rasio r = dan banyak suku n-2
Jadi secara eksplisit Un dapat dinyatakan dengan Sn-2 deret geometri
Un = S(n-2) =
=
Un = S(n-2) = untuk n 3
Bukti :
n=3 : U3 = S(3-2) = = = = 6
n=4 : U4 = S(4-2) = = = = 6
n=5 : U5 = S(5-2) = = = = 42
n=6 : U6 = S(6-2) = = = = 78
n=k : Uk = S(k-2) =
Untuk k1 = –3 dan λ1 = –2
Dari ii) Vn = Un + kUn-1
V2 = U2 – 3Un-1
V2 = 0 – 3.1
V2 = –3
Dari i) Vn = λ{ Vn-1 }
V3 = –2 V2
V4 = –2 V3
V5 = –2 V4
.....
Vn = –2 Vn-1 x
Vn = (–2)(n-2).V2
Vn = (–3). (–2)(n-2) ............. iv)
Kemudian dari ii) Vn = Un + kUn-1 secara rekursif diperoleh
Un = Vn + 3 Un-1
= Vn + 3( Vn-1 + 3 Un-2 )
= Vn + 3( Vn-1 + 3 (Vn-2 + 3 Un-3 )
.....
= Vn + 3( Vn-1 + 3 (Vn-2 + 3 (Vn-3 + 3(Vn-4 + 3 (Vn-5 + 3 ... ) ...)
= Vn + 3Vn-1 + 9Vn-2 + 27Vn-3 + 81Vn-4 + 243 (Vn-5 + 3 ... ) ...)
= (–3). (–2)(n-2) + 3. (–3). (–2) (n-3) + 9 (-3)(-2)(n-4) + 27 (-3)(-2)(n-5) + ...
Un = (–3). (–2)(n-2) - 9.(-2)(n-3) - 27.(-2)(n-4) - 81(-2)(n-5) - ... ........ v)
Tampak bahwa Un dalam persamaan v) merupakan deret geometri dengan suku pertama a = (-3). (-2)(n-2) dan rasio r =- dan banyak suku n-2
Jadi secara eksplisit Un dapat dinyatakan dengan Sn-2 deret geometri
Un = S(n-2) =
=
Un = S(n-2) = untuk n 3
2. Diketahui barisan bilangan Fibonacci : U1 = U0 = 1 dan Un+2 = Un+1 + Un tentukan Un = ....
Jawab :
Barisan Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...dapat dinyatakan sebagai koefisien binomial (a+b)n dalam kombinasi nCr = dengan susunan berikut :
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 - - - - - - - - -
1 - 1 1 - - - - - - -
2 - - 1 2 1 - - - - -
3 - - - 1 3 3 1 - - -
4 - - - - 1 4 6 4 1 -
5 - - - - - 1 5 10 10 5
5 - - - - - - 1 6 15 20
6 - - - - - - - 1 7 21
7 - - - - - - - - 1 8
8 - - - - - - - - - 1
Un : 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
Nilai Un dapat ditulis sebagai penjumlahan kombinasi diperoleh :
U0 = =1
U1 = = 1
U2 = + = 1+1 = 2
U3 = + = 2 + 1 = 3
U4 = + + = 1 + 3 + 1 = 5
U5 = + + = 3 + 4 + 1 = 8
U6 = + + + = 1 + 6 + 5 + 1 = 13
U7 = + + + = 4 +10 + 6 + 1 = 21
U8 = + + + + = 1 + 10 + 15 + 7 + 1 = 34
U9 = + + + + = 5 + 20 + 21 + 8 + 1 = 55
Pola Un tidak sama untuk suku ganjil dan suku genap sehingga rumus barisan fibonacci dapat dinyatakan dalam 2 partisi ganjil dan genap :
untuk n ganjil
Un =
untuk n genap
Contoh :
U10 =
= + + + + +
= 1 + 15 + 35 +28 +9 +1
= 89
U17 =
= + + + + + + + +
= 9 + 120 +462 +792 +715 + 364+ 105 + 16 + 1
= 2584
Cara 2
Barisan yang terbentuk ialah : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...
Misalkan ada kUn-1 kita tambahkan ke kiri dan ke kanan sehingga :
Vn = λ{ Vn-1 }
Dari ruas kiri :
Vn =
Vn-1 = Un-1 + k Un-2 .......i)
Dari ruas kanan :
λ = (k+1)
Vn-1 = .....ii)
Dari i) dan ii) didapat : =
k =
k2 + k – 1 = 0 sehingga
dan
Untuk dan
Suku ke n barisan itu dapat digambarkan dengan melukis bujursangkar ke-n dengan panjang rusuk sama dengan rusuk dua bujursangkar sebelumnya desuai dengan rumus S(n) = S(n-1) + S(n-2)
Barisan itu seolah dapat dipecah menjadi
1, 2, 5, 13, 34, 89, ... dan
1, 3, 8, 21, 55, 144, ...
S(n) = S(n-1) + S(n-2)
S(n-1) = S(n-2) + S(n-3)
S(n-2) = S(n-3) + S(n-4)
...
S(n) = S(n-1) + S(n-2)
6. Induksi matematika
Buktikan dengan Induksi Matematika
1).
2). Selidiki apakah papan berukuran 3.2n dapat ditutupi ubin , kalau ya buktikan, kalau tidak beri contoh penyangkal
3). Selidiki apakah papan berukuran 3n3n dapat dtutupi oleh ubin seperti pada soal no 2
7. Analogi
Senin, 09 Februari 2009
Langganan:
Posting Komentar (Atom)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar