Senin, 09 Februari 2009

Magic Square

Magic Square

Magic square adalah barisan dari angka-angka yang membentuk persegi dan terdiri dari bilangan bulat positif berbeda 1, 2, ..., terarur sedemikian sehingga jumlah dari n angka pada barisan horizontal, vertical, atau diagonal selalu sama (Kraitchik, 1952: 142; Andrews, 1960: 1; Gardner, 1961: 130; Madachy, 1979: 84; Benson and Jacobi, 1981: 3; Ball and Coxeter, 1987: 193). Mengenai magic constant

jika setiap angka pada magic square adalah mengurangi dari , magic square yang lain diperoleh dari komplemen magic square. Sebuah square terdiri dari angka berurutan dimulai dengan 1 yang kadang-kadang disebut "normal" magic square.

Keunikan normal square dari order tiga telah diketahui oleh orang Cina kuno, yang disebut Lo Shu. Versi order-4 magic square dengan angka 15 dan 14 yang berdekatan pada kolom tengah di baris bawah disebut Dürer's magic square. Magic squares dari order 3 sampai 8 akan ditunjukkan berikut ini.
Magic constant untuk order ke-n general magic square dimulai dengan bilangan bulat dan masuk dalam deret arithmetic dengan beda antara terminologi

(Hunter & Madachy 1975).
yang belum diselesaikan masalahnya untuk menentukan jumlah dalam magic squares dari order sembarang, tetapi jumlah dari distinct magic squares (tidak termasuk yang diperoleh dengan rotasi dan reflecsi) dari order , 2, ... adalah 1, 0, 1, 880, 275305224, ... (Sloane's; Madachy 1979: 87). 880 squares dari order empat telah dihitung oleh Frénicle de Bessy (1693), dan diilustrasikan oleh Berlekamp dan lain-lain (1982: 778-783). Jumlah dari magic squares telah dihitung oleh R. Schroeppel pada 1973. Jumlah dari squares belum diketahui, tetapi Pinn & Wieczerkowski (1998) memperkirakan mencapai menggunakan simulasi Monte Carlo dan metode mekanik statistik.
Sebuah square gagal menjadi magic hanya karena satu atau dua dari jumlah barisan diagonal yang tidak sama dengan magic constant yang disebut semimagic square. Jika semua diagonal (mencakup yang diperoleh dari sekelilingnya) dari jumlah magic square ke magic constant, maka square disebut panmagic square (juga disebut diabolic square atau pandiagonal square). Jika setiap angka diganti dengan menciptakan magic square yang lain, square ini disebut bimagic square (atau doubly magic square). Jika square itu magic untuk , , dan , maka disebut trimagic square (atau trebly magic square). Jika semua pasangan dari angka yang berlawanan dengan pusat jumlah ke to , maka square disebut associative magic square.
Squares adalah magic di bawah operasi perkalian dari penjumlahan dapat dikonstruksi dan disebut multiplication magic squares. Pada penjumlahan, squares adalah magic di bawah penjumlahan dan perkalian dapat dikonstruksi dan disebut addition-multiplication magic squares (Hunter and Madachy 1975).

Kraitchik (1942) memberikan teknik umum dari konstruksi square genap dan ganjil dari order . Untuk ganjil, banyak teknik yang langsung mengonstruksinya dengan menggunakan metode Siamese, seperti diilustrasikan berikut (Kraitchik 1942: 148-149). Itu dimulai dengan menempatka 1 pada suatu lokasi (dalam center square dari baris atas samapai bawah sebagai contohnya), maka penempatan dengan incremen kemudian angka dalam square satu unit bawah dan ke kanan. Penghitungan dari pembungkus sekitar, juga sampai ke atas kembali dan ke kanan samapi ke kiri. Jika square sudah ditemukan, kemudian angka ditempatkan di bawah sebelumnya satu dan metode berlanjut seperti sebelumnya. Metode ini juga disebut de la Loubere's method, ini menjadi pokok laporan pertama dalam dunia barat ketika de la Loubere kembali ke Prancis setelah France setelah bertemu duta besar ke Siam.
Perumuman dari metode menggunakan metode "vector biasa" itu memberikan keseimbangan untuk setiap langkah yang tak menabrak dan "vector putus" itu memberikan keseimbangan untuk memasukkan pada bentrokkan. Standar metode Siamese memiliki vector biasa (1, dan vector putus (0, 1). Pada order ini akan menghasilkan magic square, langkah putus harus berakhir pada sel yang tak terisi. Golongan khusus dari magic squares dapat dikonstruksi dengan mempertimbangkan jumlah nilai mutlak , , , dan . Pengadaan himpunan angka dari jumlah dan perbedaannya. Jika setiap jumlah dan perbedaannya adalah relatively prime ke dan square adalah magic square, maka square juga panmagic square. Ini teori yang berasal dari de la Hire. Tabel berikut memberikan jumlah dan perbedaannnya untuk pilihan keterangan dari vector putus dan vector biasa.
Ordinary Vector Break Vector Sumdiffs Magic Squares Panmagic Squares
(1, )
(0, 1) (1, 3)
none
(1, )
(0, 2) (0, 2)
none
(2, 1) (1, )
(1, 2, 3, 4)
none
(2, 1) (1, )
(0, 1, 2, 3)


(2, 1) (1, 0) (0, 1, 2)
none
(2, 1) (1, 2) (0, 1, 2, 3)
none

Metode kedua untuk perumuman magic squares dari order ganjil telah didiskusika oleh J. H. Conway dengan nama metode "lozenge". Seperti diilustrasikan berikut, dalam metode ini, angka ganjil membangun garis diagonal pada bentuk diamond dalam bagian pusat dari square. Angka genap telah dihilangkan maka ditambah secara sekuen panjang bersambungan dari diagonal diperoleh dengan pembungkus sekitar square hingga pembungkus diagonal mencapai titik permulaan. Pada square berikut, diagonal pertama menempati dalam 1, 3, 5, 2, 4, diagonal kedua diletakkan dalam 7, 9, 6, 8, 10, dan seterusnya.

Metode yang bagus untuk mengonstruksi magic squares dari doubly even order adalah untuk menggambar s sampai selesai setiap subsquare dan diletakanan semua squares dalam barisan. Maka penggantian masing-masing entry pada diagonal crossed-off dengan atau sebaliknya, dengan ekuivalen order dari crossed-out entries. Tetapi dalam conto berikut untuk , angka crossed-out mula-mula 1, 4, ..., 61, 64, juga entry 1 yang diganti 64, 4 dengan 61, dan seterusnya.

Banyak metode bagus untuk mengonstruksi singly even order dengan (tidak ada magic square dari order 2) seharusnya J. H. Conway, yang disebut metode "LUX". Menciptakan susuan yang berisi baris dari s, 1 baris dari Us, dan baris s, Semua jarak . Simpangan pertengahan U dengan L di bawahnya. Sekarang perumuman magic square dari order menggunakan penempatan metode Siamese pada susunan dari tulisan (memulai dalam pusat square dari baris atas), tetapi letak setiap himpunan dari empat squares melingkupi tulisan secara sekuen menurut order yang telah tertulis. Order yang diilustrasikan pada samping kiri dari gambar bawah, dan square lengkap dillustrasikan ke kanan. "Bentuk" dari tulisan L, U, dan X secara natural menganjurka letak order, sehingga nama dari algoritma.
Variasi pada magic squares dapat juga dikonstruksi menggunakan tulisan (salah satunya dalam deinisi square atau seperti entri di dalamnya), seperti alphamagic square dan templar magic square.

Bermacam sifat numerological juga memilki asosiasi dengan magic squares. Asosiasi square Pivari diilustrasikan dengan Saturnus, Jupiter, Mars, Matahari, Venus, Mercury, and Bulan, secara berturut-turut. Pola menarik diperoleh dengan mengurutkan angka dalam setiap squares (dengan pengecualian dari Sun magic square).
Sumber: http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html
Diambil tanggal 27 Mei 2008




Magic Square







Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah
Matematika Diskrit










Oleh:
Eyus Sudihartinih
NIM 0706634









SEKOLAH PASCA SARJANA (S2)
PROGRAM PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
BANDUNG
2008

Tidak ada komentar: